선형 이차 조절기

선형 이차 조절기

선형 이차 조절기(Linear Quadratic Regulator, LQR)는 상태 방정식이 선형이고 비용 함수가 이차식인 최적 제어 문제의 해법으로, 닫힌 형태의 최적 제어 정책을 계산할 수 있다.

핵심

• 선형 시스템 \(s_{t+1} = As_t + Bu_t + w_t\)에서 이차 비용을 최소화한다
• 비용 함수: \(\sum_{t=0}^{T}(s_t^TQs_t + u_t^TRu_t)\)
• 리카티 방정식(Riccati equation)을 풀어 최적 게인 행렬 \(K\)를 구한다
• 최적 제어 정책은 선형: \(u_t = -Ks_t\)
• 리카티 방정식 풀이를 통해 닫힌 형태의 해를 계산할 수 있는 강력한 알고리즘이다

수식

비용 함수: \(J = \sum_{t=0}^{T}\left(s_t^TQs_t + u_t^TRu_t\right)\)

최적 정책: \(u_t = -Ks_t = -(R + B^TV_{t+1}B)^{-1}B^TV_{t+1}As_t\)