대각합

대각합

대각합(Trace)은 정방 행렬 \(A\)의 주대각선 원소들의 합 \(\text{tr}(A) = \sum_i A_{ii}\)이다. 행렬 미분과 최적화에서 자주 활용되는 연산이다.

핵심

• \(\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} A_{ii}\)로 정의된다
• 사이클 대칭성: \(\text{tr}(ABC) = \text{tr}(CAB) = \text{tr}(BCA)\)
• \(\text{tr}(A^TB) = \sum_{i,j} A_{ij}B_{ij}\) (Frobenius 내적과 동치)
• 행렬 미분에서 \(\nabla_A \text{tr}(AB) = B^T\) 성질이 자주 사용된다
• 최소제곱법의 목적 함수를 행렬 형태로 표현할 때 등장한다

수식

\[\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} A_{ii}\]