머서 정리

머서 정리

머서 정리(Mercer's Theorem)는 함수 \(K: \mathcal{X} \times \mathcal{X} \to \mathbb{R}\)가 유효한 커널이 되기 위한 필요충분조건을 제시하는 정리이다. 커널 행렬이 양의 반정치(positive semi-definite, PSD)이어야 한다.

핵심

• \(K\)가 유효한 커널이면 커널 행렬 \(K_{ij} = K(x^{(i)}, x^{(j)})\)는 반드시 PSD이다
• 반대로, 어떤 데이터에 대해서도 커널 행렬이 PSD이면 \(K\)는 유효한 커널이다
• 유효한 커널은 어떤 특징 공간에서의 내적으로 해석 가능하다
• 두 유효한 커널의 합·곱도 유효한 커널이다 (커널 조합 규칙)
• 사용하는 커널이 유효한지 확인하는 이론적 보증을 제공한다

수식

\(K\)가 유효한 커널 \(\iff\) 임의의 \(\{x^{(1)}, \ldots, x^{(m)}\}\)에 대해 커널 행렬 \(K\)가 PSD